卷七

  ○盈不足(以御隐杂互见) 今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四。问人数、物价各几何?答曰: 七人。物价五十三。

  今有共买鸡,人出九,盈一十一;人出六,不足十六。问人数、鸡价各几何? 答曰:九人。鸡价七十。

  今有共买琎,人出半,盈四;人出少半,不足三。问人数、琎价各几何?答 曰:四十二人。琎价十七。

  〔注云“若两设有分者,齐其子,同其母”,此问两设俱见零分,故齐其子, 同其母。又云“令下维乘上。讫,以同约之”,不可约,故以乘,同之。〕 今有共买牛,七家共出一百九十,不足三百三十;九家共出二百七十,盈三 十。问家数、牛价各几何?答曰:一百二十六家。牛价三千七百五十。

  〔按:此术并盈不足者,为众家之差,故以为实。置所出率,各以家数除之, 各得一家所出率。以少减多者,得一家之差。以除,即家数。以出率乘之,减盈, 故得牛价也。〕 术曰:置所出率,盈不足各居其下。令维乘所出率,并,以为实。并盈、不 足,为法。实如法而一。

  〔按:盈者,谓朓;不足者,谓之朒;所出率谓之假令。盈、朒维乘两 设者,欲为同齐之意。据“共买物,人出八,盈三;人出七,不足四”,齐其假 令,同其盈、朒,盈、朒俱十二。通计齐则不盈不朒之正数,故可并之为 实,并盈、不足为法。齐之三十二者,是四假令,有盈十二;齐之二十一者,是 三假令,亦朒十二;并七假令合为一实,故并三、四为法。〕 有分者通之。

  〔若两设有分者,齐其子,同其母。令下维乘上,讫,以同约之。〕 盈不足相与同其买物者,置所出率,以少减多,余,以约法、实。实为物价, 法为人数。

  〔“所出率以少减多”者,余,谓之设差,以为少设。则并盈、朒,是为 定实。故以少设约定实,则法,为人数;适足之实故为物价。盈朒当与少设相 通。不可遍约,亦当分母乘,设差为约法、实。〕 其一术曰:并盈、不足为实。以所出率,以少减多,余为法。实如法得一人。

  以所出率乘之,减盈、增不足,即物价。

  〔此术意谓盈不足为众人之差。以所出率以少减多,余为一人之差。以一人 之差约众人之差,故得人数也。〕 今有共买金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百。问人数、金价各 几何?答曰:三十三人。金价九千八百。

  今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三。问人数、羊价各几何? 答曰:二十一人。羊价一百五十。

  术曰:置所出率,盈、不足各居其下。令维乘所出率,以少减多,余为实。

  两盈、两不足以少减多,余为法。实如法而一。有分者,通之。两盈两不足相与 同其买物者,置所出率,以少减多,余,以约法、实。实为物价,法为人数。

  〔按:此术两不足者,两设皆不足于正数。其所以变化,犹两盈。而或有势 同而情违者。当其为实,俱令不足维乘相减,则遗其所不足焉。故其余所以为实 者,无朒数以损焉。盖出而有余,两盈。两设皆逾于正数。假令与共买物,人 出八,盈三;人出九,盈十。齐其假令,同其两盈。两盈俱三十。举齐则兼去。

  其余所以为实者,无盈数。两盈以少减多,余为法。齐之八十者,是十假令;而 凡盈三十者,是十,以三之;齐之二十七者,是三假令;而凡盈三十者,是三, 以十之。今假令两盈共十、三,以三减十,余七,为一实。故令以三减十,余七 为法。所出率以少减多,余谓之设差。因设差为少设,则两盈之差是为定实。故 以少设约法得人数,约实即得金数。〕 其一术曰:置所出率,以少减多,余为法。两盈、两不足以少减多,余为实。

  实如法而一,得人数。以所出率乘之,减盈、增不足,即物价。

  〔“置所出率,以少减多”,得一人之差。两盈、两不足相减,为众人之差。

  故以一人之差除之,得人数。以所出率乘之,减盈、增不足,即物价。〕 今有共买犬,人出五,不足九十;人出五十,适足。问人数、犬价各几何? 答曰:二人。犬价一百。

  今有共买豕,人出一百,盈一百;人出九十,适足。问人数、豕价各几何? 答曰:一十人。豕价九百。

  术曰:以盈及不足之数为实。置所出率,以少减多,余为法。实如法得一人。

  其求物价者,以适足乘人数,得物价。

  〔此术意谓以所出率,以少减多者,余是一人不足之差。不足数为众人之差。

  以一人差约之,故得人之数也。以盈及不足数为实者,数单见,即众人差,故以 为实。所出率以少减多,即一人差,故以为法。以除众人差,得人数。以适足乘 人数,即得物价也。〕 今有米在十斗桶中,不知其数。满中添粟而舂之,得米七斗。问故米几何? 答曰:二斗五升。

  术曰:以盈不足术求之。假令故米二斗,不足二升;令之三斗,有余二升。

  〔按:桶受一斛,若使故米二斗,须添粟八斗以满之。八斗得粝米四斗八升, 课于七斗,是为不足二升。若使故米三斗,须添粟七斗以满之。七斗得粝米四斗 二升,课于七斗,是为有余二升。以盈不足维乘假令之数者,欲为齐同之意。为 齐同者,齐其假令,同其盈朒。通计齐即不盈不朒之正数,故可以并之为实, 并盈、不足为法。实如法,即得故米斗数,乃不盈不朒之正数也。〕 今有垣高九尺。瓜生其上,蔓日长七寸;瓠生其下,蔓日长一尺。问几何日 相逢?瓜、瓠各长几何?答曰:五日十七分日之五。瓜长三尺七寸一十七分寸之 一。瓠长五尺二寸一十七分寸之一十六。

  术曰:假令五日,不足五寸;令之六日,有余一尺二寸。

  〔按:“假令五日,不足五寸”者,瓜生五日,下垂蔓三尺五寸;瓠生五日, 上延蔓五尺;课于九尺之垣,是为不足五寸。“令之六日,有余一尺二寸”者, 若使瓜生六日,下垂蔓四尺二寸;瓠生六日,上延蔓六尺;课于九尺之垣,是为 有余一尺二寸。以盈、不足维乘假令之数者,欲为齐同之意。齐其假令,同其盈 朒。通计齐即不盈不朒之正数,故可并以为实,并盈、不足为法。实如法而 一,即设差不盈不朒之正数,即得日数。以瓜、瓠一日之长乘之,故各得其长 之数也。〕 今有蒲生一日,长三尺;莞生一日,长一尺。蒲生日自半,莞生日自倍。问 几何日而长等?答曰:二日十三分日之六。各长四尺八寸一十三分寸之六。

  术曰:假令二日,不足一尺五寸;令之三日,有余一尺七寸半。

  〔按:“假令二日,不足一尺五寸”者,蒲生二日,长四尺五寸;莞生二日, 长三尺;是为未相及一尺五寸,故曰不足。“令之三日,有余一尺七寸半”者, 蒲增前七寸半,莞增前四尺,是为过一尺七寸半,故曰有余。以盈不足乘除之。

  又以后一日所长各乘日分子,如日分母而一者,各得日分子之长也。故各增二日 定长,即得其数。〕 今有醇酒一斗,直钱五十;行酒一斗,直钱一十。今将钱三十,得酒二斗。

  问醇、行酒各得几何?答曰:醇酒二升半。行洒一斗七升半。

  术曰:假令醇酒五升,行酒一斗五升,有余一十;令之醇酒二升,行酒一斗 八升,不足二。

  〔据醇酒五升,直钱二十五;行酒一斗五升,直钱一十五;课于三十,是为 有余十。据醇酒二升,直钱一十;行酒一斗八升,直钱一十八;课于三十,是为 不足二。以盈不足术求之。此问已有重设及其齐同之意也。〕 今有大器五,小器一,容三斛;大器一,小器五,容二斛。问大、小器各容 几何?答曰:大器容二十四分斛之十三。小器容二十四分斛之七。

  术曰:假令大器五斗,小器亦五斗,盈一十斗;令之大器五斗五升,小器二 斗五升,不足二斗。

  〔按:大器容五斗,大器五容二斛五斗。以减三斛,余五斗,即小器一所容。

  故曰“小器亦五斗”。小器五容二斛五斗,大器一,合为三斛。课于两斛,乃多 十斗。令之大器五斗五升,大器五合容二斛七斗五升。以减三斛,余二斗五升, 即小器一所容。故曰小器二斗五升”。大器一容五斗五升,小器五合容一斛二斗 五升,合为一斛八斗。课于二斛,少二斗。故曰“不足二斗”。以盈不足维乘, 除之。〕 今有漆三得油四,油四和漆五。今有漆三斗,欲令分以易油,还自和余漆。

  问出漆、得油、和漆各几何?答曰:出漆一斗一升四分升之一。得油一斗五升。

  和漆一斗八升四分升之三。

  术曰:假令出漆九升,不足六升;令之出漆一斗二升,有余二升。

  〔按:此术三斗之漆,出九升,得油一斗二升,可和漆一斗五升,余有二斗 一升,则六升无油可和,故曰“不足六升”。令之出漆一斗二升,则易得油一斗 六升,可和漆二斗。于三斗之中已出一斗二升,余有一斗八升。见在油合和得漆 二斗,则是有余二升。以盈、不足维乘之,为实。并盈、不足为法。实如法而一, 得出漆升数。求油及和漆者,四、五各为所求率,三、四各为所有率,而今有之, 即得也。〕 今有玉方一寸,重七两;石方一寸,重六两。今有石立方三寸,中有玉,并 重十一斤。问玉、石重各几何?答曰:玉一十四寸,重六斤二两。石一十三寸, 重四斤一十四两。

  术曰:假令皆玉,多十三两;令之皆石,不足一十四两。不足为玉,多为石。

  各以一寸之重乘之,得玉、石之积重。

  〔立方三寸是一面之方,计积二十七寸。玉方一寸重七两,石方一寸重六两, 是为玉、石重差一两。假令皆玉,合有一百八十九两。课于一十一斤,有余一十 三两。玉重而石轻,故有此多。即二十七寸之中有十三寸,寸损一两,则以为石 重,故言多为石。言多之数出于石以为玉。假令皆石,合有一百六十二两。课于 十一斤,少十四两,故曰不足。此不足即以重为轻。故令减少数于并重,即二十 七寸之中有十四寸,寸增一两也。〕 今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五百。今并买一顷,价钱一万。问善、 恶田各几何?答曰:善田一十二亩半。恶田八十七亩半。

  术曰:假令善田二十亩,恶田八十亩,多一千七百一十四钱七分钱之二;令 之善田一十亩,恶田九十亩,不足五百七十一钱七分钱之三。

  〔按:善田二十亩,直钱六千;恶田八十亩,直钱五千七百一十四、七分钱 之二,课于一万,是多一千七百一十四、七分钱之二。令之善田十亩,直钱三千; 恶田九十亩,直钱六千四百二十八、七分钱之四;课于一万,是为不足五百七十 一、七分钱之三。以盈不足术求之也。〕 今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重,适等。交 易其一,金轻十三两。问 金、银一枚各重几何?答曰:金重二斤三两一十八铢。银重一斤一十三两六铢。

  术曰:假令黄金三斤,白银二斤一十一分斤之五,不足四十九,于右行。令 之黄金二斤,白银一斤一十一分斤之七,多一十五,于左行。以分母各乘其行内 之数。以盈、不足维乘所出率,并,以为实。并盈、不足为法。实如法,得黄金 重。分母乘法以除,得银重。约之得分也。

  〔按:此术假令黄金九,白银一十一,俱重二十七斤。金,九约之,得三斤; 银,一十一约之,得二斤一十一分斤之五;各为金、银一枚重数。就金重二十七 斤之中减一金之重,以益银,银重二十七斤之中减一银之重,以益金,则金重二 十六斤一十一分斤之五,银重二十七斤一十一分斤之六。以少减多,则金轻一十 七两一十一分两之五。课于一十三两,多四两一十一分两之五。通分内子言之, 是为不足四十九。又令之黄金九,一枚重二斤,九枚重一十八斤;白银一十一, 亦合重一十八斤也。乃以一十一除之,得一斤一十一分斤之七,为银一枚之重数。

  今就金重一十八斤之中减一枚金,以益银;复减一枚银,以益金,则金重一十七 斤一十一分斤之七,银重一十八斤一十一分斤之四。以少减多,即金轻一十一分 斤之八。课于一十三两,少一两一十一分两之四。通分内子言之,是为多一十五。

  以盈不足为之,如法,得金重。分母乘法以除者,为银两分母,故同之。须通法 而后乃除,得银重。余皆约之者,术省故也。〕 今有良马与驽马发长安,至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里, 日增一十三里,驽马初日行九十七里,日减半里。良马先至齐,复还迎驽马。问 几何日相逢及各行几何?答曰:一十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢。

  良马行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六。驽马行一千四百六十五里一 百九十一分里之一百四十五。

  术曰:假令十五日,不足三百三十七里半;令之十六日,多一百四十里。以 盈、不足维乘假令之数,并而为实。并盈、不足为法。实如法而一,得日数。不 尽者,以等数除之而命分。求良马行者:十四乘益疾里数而半之,加良马初日之 行里数,以乘十五日,得十五日之凡行。又以十五日乘益疾里数,加良马初日之 行。以乘日分子,如日分母而一。所得,加前良马凡行里数,即得。其不尽而命 分。求驽马行者:以十四乘半里,又半之,以减驽马初日之行里数,以乘十五日, 得驽马十五日之凡行。又以十五日乘半里,以减驽马初日之行,余,以乘日分子, 如日分母而一。所得,加前里,即驽马定行里数。其奇半里者,为半法。以半法 增残分,即得。其不尽者而命分。

  〔按:“令十五日,不足三百三十七里半”者,据良马十五日凡行四千二百 六十里,除先去齐三千里,定还迎驽马一千二百六十里;驽马十五日凡行一千四 百二里半,并良、驽二马所行,得二千六百六十二里半。课于三千里,少三百三 十七里半。故曰不足。“令之十六日,多一百四十里”者,据良马十六日凡行四 千六百四十八里;除先去齐三千里,定还迎驽马一千六百四十八里,驽马十六日 凡行一千四百九十二里。并良、驽二马所行,得三千一百四十里。课于三千里, 余有一百四十里。故谓之多也。以盈不足之,实如法而一,得日数者,即设差不 盈不朒之正数。以二马初日所行里乘十五日,为一十五日平行数。求初末益疾 减迟之数者,并一与十四,以十四乘而半之,为中平之积。又令益疾减迟里数乘 之,各为减益之中平里。故各减益平行数,得一十五日定行里。若求后一日,以 十六日之定行里数乘日分子,如日分母而一,各得日分子之定行里数。故各并十 五日定行里,即得。其驽马奇半里者,法为全里之分,故破半里为半法,以增残 分,即合所问也。〕 今有人持钱之蜀贾,利十,三。初返归一万四千,次返归一万三千,次返归 一万二千,次返归一万一千,后返归一万。凡五返归钱,本利俱尽。问本持钱及 利各几何?答曰:本三万四百六十八钱三十七万一千二百九十三分钱之八万四千 八百七十六。利二万九千五百三十一钱三十七万一千二百九十三分钱之二十八万 六千四百一十七。

  术曰:假令本钱三万,不足一千七百三十八钱半;令之四万,多三万五千三 百九十钱八分。

  〔按:假令本钱三万,并利为三万九千;除初返归留,余,加利为三万二千 五百;除二返归留,余,又加利为二万五千三百五十;除第三返归留,余,又加 利为一万七千三百五十五;除第四返归留,余,又加利为八千二百六十一钱半; 除第五返归留,合一万钱,不足一千七百三十八钱半。若使本钱四万,并利为五 万二千;除初返归留,余,加利为四万九千四百;除第二返归留,余,又加利为 四万七千三百二十;除第三返归留,余,又加利为四万五千九百一十六;除第四 返归留,余,又加利为四万五千三百九十钱八分;除第五返归留,合一万,余三 万五千三百九十钱八分,故曰多。

  又术:置后返归一万,以十乘之,十三而一,即后所持之本。加一万一千, 又以十乘之,十三而一,即第四返之本。加一万二千,又以十乘之,十三而一, 即第三返之本。加一万三千,又以十乘之,十三而一,即第二返之本。加一万四 千,又以十乘之,十三而一,即初持之本。并五返之钱以减之,即利也。〕 今有垣厚五尺,两鼠对穿。大鼠日一尺,小鼠亦日一尺。大鼠日自倍,小鼠 日自半。问几何日相逢?各穿几何?答曰:二日一十七分日之二。大鼠穿三尺四 寸十七分寸之一十二,小鼠穿一尺五寸十七分寸之五。

  术曰:假令二日,不足五寸;令之三日,有余三尺七寸半。

  〔大鼠日倍,二日合穿三尺;小鼠日自半,合穿一尺五寸;并大鼠所穿,合 四尺五寸。课于垣厚五尺,是为不足五寸。令之三日,大鼠穿得七尺,小鼠穿得 一尺七寸半。并之,以减垣厚五尺,有余三尺七寸半。以盈不足术求之,即得。

  以后一日所穿乘日分子,如日分母而一,即各得日分子之中所穿。故各增二日定 穿,即合所问也。〕

完善

良马难乘,然可以任重致远;良才难令,然可以致君见尊。

公众号

© 2023 古诗文网 | 诗文 | 名句 | 作者 | 古籍 | 纠错